Богдан Сінченко народився в місті Старобільску Луганської области. Закінчив навчання на катедрі композиції Харківського національного університету мистецтв у 2011 році. За час навчання брав участь у кількох конкурсах для композиторів і міжнародному фестивалі "Музика молодих" у 2010 році, що відбувся в Харкові. У 2011-2017 рр. поєднував творчу діяльність з викладацькою. З 2017 року - винятково на творчій роботі.
У 2021 році композитор став дипломантом другого конкурсу молодих композиторів ім. Б. М. Лятошинського, написавши два цикли хорів на вірші Ю. Іздрика і Є. Гуцала. Цього ж року він став офіційним учасником Всеукраїнської культурно-мистецької акції «МузикаПростоНеба» з п’єсою для 11 виконаців «Espressivo» і лавреатом конкурсу ІСМ 2021, що відбувся в Києві, з п'єсою для фортепіяно "Пожовклий зшиток". Взимку 2022 здобув перемогу в міжнародному конкурсі Garth Newel Piano Quartet Composition Competition з фортепіанним квартетом Exsistencia.
Зараз композитор працює переважно у царині камерно-інструментальної музики, орієнтуючись на композиційні принципи постмінімалізму, сполучаючи їх з елементами сонорної техніки письма. У творчому доробку автора музика для фортепіяно, струнних, різних камерно-інструментальних ансамблів, як то струнний квартет, фортепіянний квінтет тощо.
Твори й аранжування Богдана Сінченка регулярно виконуються в місті Харкові та за його межами.